Teoría de Sistemas de Ecuaciones
Definición y Solución
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar esta solución.
Comprobamos que (x=1, y=4) es solución:
\[2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14\]
\[3(1) + 4(4) = 3 + 16 = 19\]
Número de Soluciones
Un sistema de ecuaciones, según el número de soluciones que tenga, se clasifica en:
Sistema Compatible Determinado: Tiene una única solución. Gráficamente son dos rectas que se cortan en un punto.
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \quad \text{sol: } x=4,\ y=1 \]
Sistema Compatible Indeterminado: Tiene infinitas soluciones. Gráficamente son dos rectas coincidentes.
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 10 \end{cases} \]
Sistema Incompatible: No tiene solución. Gráficamente son dos rectas paralelas.
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x + y = 7 \end{cases} \]
Métodos de Resolución
Método de Reducción
Consiste en encontrar otro sistema equivalente donde los coeficientes de una incógnita sean iguales o de signo contrario, para que al sumar o restar las ecuaciones, esa incógnita desaparezca.
Sumamos las ecuaciones: \(5x = 15 \rightarrow x = 3\)
Sustituimos: \(2(3) + 5y = 11 \rightarrow 5y = 5 \rightarrow y = 1\)
Método de Sustitución
Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.
Despejamos y en la primera: \(y = 4 - 2x\)
Sustituimos: \(x + 2(4 - 2x) = 5 \rightarrow x + 8 - 4x = 5 \rightarrow -3x = -3 \rightarrow x = 1\)
Luego \(y = 4 - 2(1) = 2\)
Método de Igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.
Despejamos y: \(y = 7 - 2x\) y \(y = 10 - 3x\)
Igualamos: \(7 - 2x = 10 - 3x \rightarrow x = 3\)
Sustituimos: \(y = 7 - 2(3) = 1\)
Ejercicios Resueltos
Resuelve por el método de reducción:
Sumamos las dos ecuaciones:
\[(2x + 7y) + (3x - 7y) = 20 + 4\]
\[5x = 24 \rightarrow x = \frac{24}{5}\]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[2\left(\frac{24}{5}\right) + 7y = 20\]
\[\frac{48}{5} + 7y = 20\]
\[7y = 20 - \frac{48}{5} = \frac{100}{5} - \frac{48}{5} = \frac{52}{5}\]
\[y = \frac{52}{5} \div 7 = \frac{52}{35}\]
Solución: \(x = \frac{24}{5}, y = \frac{52}{35}\)
Resuelve por el método de sustitución:
Despejamos x en la primera ecuación:
\[x = 11 - 7y\]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[3(11 - 7y) - 5y = 7\]
\[33 - 21y - 5y = 7\]
\[-26y = 7 - 33\]
\[-26y = -26 \rightarrow y = 1\]
Sustituimos y en la expresión despejada:
\[x = 11 - 7(1) = 4\]
Solución: \(x = 4, y = 1\)
Resuelve por el método de igualación:
Despejamos x en ambas ecuaciones:
Primera ecuación: \(x = 23 - 7y\)
Segunda ecuación: \(x = -13 + 5y\)
Igualamos ambas expresiones:
\[23 - 7y = -13 + 5y\]
\[23 + 13 = 5y + 7y\]
\[36 = 12y \rightarrow y = 3\]
Sustituimos en cualquiera de las expresiones:
\[x = 23 - 7(3) = 23 - 21 = 2\]
Solución: \(x = 2, y = 3\)
Problemas Propuestos
Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.
Solución:
Sean \(x\) el mayor, \(y\) el menor:
\[ \begin{cases} x + 6y = 62 \\ y + 5x = 78 \end{cases} \]
De la primera: \(x = 62 - 6y\)
Sustituimos en la segunda:
\[y + 5(62 - 6y) = 78\]
\[y + 310 - 30y = 78\]
\[-29y = -232 \rightarrow y = 8\]
\[x = 62 - 6 \times 8 = 14\]
Mayor: 14, Menor: 8
La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Solución:
Sean \(x\) la altura, \(y\) la base:
\[ \begin{cases} y = x + 20 \\ 2x + 2y = 172 \end{cases} \]
Sustituimos:
\[2x + 2(x + 20) = 172\]
\[2x + 2x + 40 = 172\]
\[4x = 132 \rightarrow x = 33\]
\[y = 33 + 20 = 53\]
Altura: 33 dm, Base: 53 dm
En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90% de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay?
Solución:
Sean \(x\) chicas, \(y\) chicos:
\[ \begin{cases} x + y = 80 \\ 0.5x + 0.9y = 60 \end{cases} \]
De la primera: \(x = 80 - y\)
Sustituimos:
\[0.5(80 - y) + 0.9y = 60\]
\[40 - 0.5y + 0.9y = 60\]
\[0.4y = 20 \rightarrow y = 50\]
\[x = 80 - 50 = 30\]
Chicas: 30, Chicos: 50
Juan ha realizado un examen de 68 preguntas, dejó sin contestar 18 y obtuvo 478 puntos. Por respuesta correcta suma 10 puntos y por incorrecta resta 1 punto. ¿Cuántas contestó bien y mal?
Solución:
Contestó: \(68 - 18 = 50\) preguntas
Sean \(x\) correctas, \(y\) incorrectas:
\[ \begin{cases} x + y = 50 \\ 10x - y = 478 \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[11x = 528 \rightarrow x = 48\]
\[y = 50 - 48 = 2\]
Correctas: 48, Incorrectas: 2
La suma de dos números es 85 y su diferencia es 19. ¿Cuáles son los números?
Solución:
Sean \(x\) e \(y\) los números:
\[ \begin{cases} x + y = 85 \\ x - y = 19 \end{cases} \]
Sumamos ambas ecuaciones:
\[2x = 104 \rightarrow x = 52\]
\[y = 85 - 52 = 33\]
Números: 52 y 33
La suma de las edades de Luisa y Miguel es 32 años. Dentro de 8 años, Miguel tendrá el doble de la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen?
Solución:
Sean \(x\) edad de Luisa, \(y\) edad de Miguel:
\[ \begin{cases} x + y = 32 \\ y + 8 = 2(x + 8) \end{cases} \]
Desarrollamos la segunda:
\[y + 8 = 2x + 16\]
\[y = 2x + 8\]
Sustituimos en la primera:
\[x + (2x + 8) = 32\]
\[3x = 24 \rightarrow x = 8\]
\[y = 2 \times 8 + 8 = 24\]
Luisa: 8 años, Miguel: 24 años